Existence de solutions globales pour des problèmes hyperboliques non-linéaires

On considère le problème de Cauchy pour des équations hyperboliques à données initiales petites. On prouve l'existence d'une solution globale dans trois cas : # équations hyperboliques ayant une partie non-linéaire qui satisfait la condition nulle de Klainerman, # équation du type de Kirchhoff, # équation de Klein-Gordon non-linéaire avec une masse m = m(e) qui tend vers zéro quand e tends vers 0.We consider the Cauchy problem for hyperbolic equations with small initial data. We prove the globale existence of a solution in the following cases : # hyperbolic equations with non-linear terms satisfying the null condition of Klainerman, # a Kirchhoff type équation, # non linear Klein-Gordon equation, where the mass m(e) decreases to zero as e 0

Résonances en espace-temps et ondes confinées.

This thesis focuses on long-time existence and long-time dynamics for the solutions of some bidimensional wave equations where one direction is trapped, either by the geometry of the problem (if we take a wave equation on RxT) or by a harmonic potential in one direction. After presenting the methods used in the harmonic analysis of dispersive equations (with a special focus on the so-called space-time resonances method), we start by studying the wave equation with a mass on RxT (i.e. Klein-Gordon's equation) in order to prove a long-time existence and uniqueness theorem: it will allow us to explain in detail the methods used for an anisotropic problem. Then we establish a long-time existence and uniqueness theorem for the wave equation on R2 with a harmonic potential in one direction. Finally we approximate the long-time dynamics of this equation by a resonant equation: we derive this system, prove a long-time existence theorem and a L2 approximation theorem.Cette thèse s'attache à l'existence et la dynamique en temps long de solutions d'équations des ondes bidimensionnelles dans lesquelles l'une des deux directions est confinée, soit par la géométrie du problème (équation des ondes sur RxT), soit par un potentiel harmonique dans une direction. Après une présentation des méthodes utilisées pour l'analyse harmonique des équations dispersives (notamment la méthode dite des résonances en espace-temps), nous nous intéressons à l'équation des ondes avec masse non-nulle (ou de Klein-Gordon) sur RxT pour prouver un théorème d'existence et d'unicité en temps long et expliciter les méthodes employées pour traiter un problème anisotrope. Puis nous établissons un théorème d'existence en temps long pour l'équation des ondes sur R2 avec potentiel harmonique dans une direction. Nous approchons ensuite cette équation par une équation résonante: nous dérivons cette équation et nous prouvons un théorème d'existence en temps long, ainsi qu'un théorème d'approximation L2

TRAITEMENT DE CERTAINS SYSTEMES MICROSCOPIQUES VIA LA MECANIQUE QUANTIQUE DEFORMEE

Dans cette thèse, nous avons étudié certains phénomènes microscopiques à haute énergie dans le contexte de la mécanique quantique déformée à petite échelle avec deux types de déformations différentes. Dans la première étape nous avons résolu d'une manière analytique exacte l’oscillateur harmonique de Klein-Gordon dont la fréquence dépend de l’énergie à trois dimensions, l'oscillateur harmonique bidimensionnel de Dirac et les applications de graphène (Dirac sans masse) avec la présence d’un champ magnétique uniforme et externe dans le cadre de la géométrie non commutative. Dans tous les cas, les spectres énergétiques et les fonctions d'onde associées sont obtenus ainsi que leurs propriétés thermodynamiques qui ont également été déterminées et interprétées. Dans la deuxième étape Nous avons étudié l'oscillateur harmonique de Schrödinger, Klein-Gordon et Dirac dans une dimension arbitraire avec des relations de commutation de Snyder-de Sitter , ces déformations se traduisent par une incertitude minimale non nulle dans la mesure à la fois de la position et de la quantité de mouvement de la particule de spin 0 et spin1, les niveaux d'énergie peuvent être écrits exactement et la fonction d'onde peut être écrite à l'aide des polynômes de Gegenbauer pour le cas unidimensionnelle et Jacobi pour une dimension arbitraire. la formule d'Euler-MacLaurin a été utilisée pour calculer toutes les grandeurs thermodynamiques. À la dernière étape, on a généralisé notre travail où nous traitent l’oscillateur de Schrödinger et l’oscillateur de Klein-Gordon a deux dimensions en présence d'un champ magnétique uniforme et externe via l'algèbre de Snyder-de Sitter dans l'espace non commutatif. Nous obtenons les fonctions d'ondes en termes de polynôme de Jacobi et le spectre d'énergie exacte en fonction des paramètres de déformation, les cas limites sont étudiés et les résultats obtenus sont en parfait accord avec ceux de la littérature. Nous examinons les propriétés thermiques qui ont été influencées par les deux déformations

Analysis of models for quantum transport of electrons in graphene layers

We present and analyze two mathematical models for the self consistent quantum transport of electrons in a graphene layer. We treat two situations. First, when the particles can move in all the plane \RR^2, the model takes the form of a system of massless Dirac equations coupled together by a selfconsistent potential, which is the trace in the plane of the graphene of the 3D Poisson potential associated to surface densities. In this case, we prove local in time existence and uniqueness of a solution in H^s(\RR^2), for $s > 3/8$ which includes in particular the energy space H^{1/2}(\RR^2). The main tools that enable to reach $s\in (3/8,1/2)$ are the dispersive Strichartz estimates that we generalized here for mixed quantum states. Second, we consider a situation where the particles are constrained in a regular bounded domain $\Omega$. In order to take into account Dirichlet boundary conditions which are not compatible with the Dirac Hamiltonian $H_{0}$, we propose a different model built on a modified Hamiltonian displaying the same energy band diagram as $H_{0}$ near the Dirac points. The well-posedness of the system in this case is proved in $H^s_{A}$, the domain of the fractional order Dirichlet Laplacian operator, for $1/2\leq s<5/2$

Consommation, effet de substitution intertemporelle et formation des habitudes

Cet article discute du rôle du mécanisme de substitution intertemporelle dans le comportement de consommation des ménages. Après avoir constaté que ce mécanisme est au coeur de plusieurs modèles monétaires mais, qu’étant trop fort, il tend généralement à réduire la capacité de ces modèles à reproduire les faits stylisés monétaires, je dresse un bilan de l’état des connaissances sur le lien entre consommation et effet de substitution intertemporelle. L’intérêt de l’hypothèse de persistance des habitudes dans le comportement de consommation est analysée à l’aide d’un modèle simple de choix intertemporels pour montrer que cette hypothèse permet d’affaiblir le mécanisme de substitution intertemporelle, et par voie de conséquence, d’améliorer les propriétés dynamiques des modèles monétaires usuels.This article discusses the role of the intertemporal substitution mechanism in consumption. After noting that this mechanism is central for several monetary models but, being too strong, it generally tends to reduce the ability of these models to reproduce the stylized monetary facts, it discusses the state of knowledge about the relationship between consumption and the intertemporal substitution effect. The interest of the hypothesis of habit persistence in consumption behaviour is analyzed using a simple model of intertemporal choice to show that this assumption allows weakening the intertemporal substitution mechanism, and consequently, improve the dynamic properties of the common monetary models